фракталы

[kobak]

Рассказывал сегодня семи—десятиклассникам на заседании математического клуба в гимназии^(*) про фракталы: мн-во Кантора, снежинка Коха, ковер Серпинского, фрактальная размерность, «фрактальная геометрия природы» Мандельброта, динамический хаос и странные аттракторы Лоренца, итерирование квадратичной функции и бифуркационная диаграмма, комплексная динамика и мн-ва Жюлиа и Мандельброта.

Честно говоря, я бы включил это всё в основную программу математики в гимназии, а не выносил на факультатив — темы-то важные, простые и очень красивые. На самом деле в математике есть много важных, простых и красивых (существенны все три эти свойства) вещей, которые остаются совершенно за рамками нынешнего школьного образования. Навскидку: наивная теория множеств (с ординалами и кардиналами), аксиоматическая теория множеств (может быть), теория алгоритмов и доказуемости (с первой теоремой Геделя), те же фракталы, какие-то вопросы топологии (не уверен, впрочем). Что еще?

Как было бы здорово, если бы в 11-м классе каждой из этих тем посвящалось по несколько уроков. Или, может быть, отдельный предмет стоит сделать в 11-м классе: «некоторые вопросы современной математики» — по два урока в неделю в течение полугода. Времени как раз хватит обсудить все перечисленные вещи. И главное, страшно интересный предмет ведь может получиться!

Эх.

—————
^(*) Санкт-Петербургская классическая гимназия 610

Comments

[http://users.livejournal.com/_baum/]

есть чистяковская концепция преподавания математики в аничковом лицее - там школьников учат именно как молодых ученых, рассказывают им красивые и простые вещи из современной математики. и, думаю, это не работает. потому что рассказывать такое можно действительно только вне основного курса, на факультативе или в кружке. основной курс математики должен учить школьника не современной математике, а усидчивости, скрупулезности в работе и - главное - методу. это достигается с помощью навороченной тригонометрии, примитивного анализа, стереометрии, и ничего другого не надо. только потом, имея базовые навыки, человек способен правильно понять науку как таковую

чтобы понять, что вещь проста и красива, нужно иметь ой-ой-ой какой опыт работы в математике. принимать это на веру со слов учителя бессмысленно - ничему так научиться невозможно ведь

[batis2ta.livejournal.com]

Если убрать из программы (наконец-то) латынь с греческим - самое оно.

[vn.livejournal.com]

Согласен, насчёт отдельного предмета. Потому как только сейчас стал понимать, сколько в математике вещей, которые интересны сами по себе.
А из школьного и институтского курсов осталось впечатление скучной науки, используемой для каких-нибудь прикладных задач.

[honika.livejournal.com]

было бы здорово, но я не очень верю в осуществимость =(
нам в моей гимназии подобные вещи рассказывала наша классная, соросовский учитель по математике. она по собственной воле силовым методом ввела нам два дополнительных часа в неделю и рассказывала, что могла. не скажу, что нам всегда нравилось, что у нас два лишних урока, но предмет был интересным. так вот, к чему это я? а к тому, что уроки эти не оплачивались, и держалось всё исключительно на её энтузиазме. а попробуй объяснить нынешним образовательским шишкам, что такой урок стоит того, чтобы ввести его в программу... так что всё как обычно упирается в необходимость реформирования образования =(

[kobak.livejournal.com]

тогда это будет другая школа. а это совершенно меня не интересует.

[kobak.livejournal.com]

а образовательная программа меня мало волнует, речь идет об одной конкретной школе :)

а в каком классе это было? и что именно она вам рассказывала на этих доп. часах?

[kobak.livejournal.com]

согласен про скрупулезность и метод. но я же не предлагаю отменить в школе обычную математику. я говорю об отдельном предмете в выпускном классе, совсем небольшом по объему. может быть, к 11му классу какой-то уровень "усидчивости и скрупулезности" уже достигнут, и можно посвятить немного времени современной математике. не знаю, на самом деле.

проблема факультативов в том, что на них далеко не все ходят, а "потом, имея базовые навыки" для большинства выпускников уже не настает (в математики идет исчезающий процент). поэтому вопрос о том, что рассказывать в школе, а что нет, -- крайне важен.

[http://users.livejournal.com/_baum/]

согласен, да. но вторая половина 11-го класса вообще рассматривается как финишная прямая, и учиться чему-то новому обычно никто не желает. поэтому есть риск превращения подобного курса в занимательное рассказывание баек с целью дотянуть до мая, что, конечно, тоже не так плохо, но немного из другой оперы

[kobak.livejournal.com]

Как мне сообщают, Чистякова выгнали из лицея четыре года назад, так как его концепция заключалась в показывании порнофильмов 10-классникам.

[honika.livejournal.com]

ну уж, всё хорошее - и только вам? нееет уж =)
это началось в 9 классе - мы ещё были разбиты по классам, как нас разбили в 5 классе. и только по субботам расходились на факультативные занятия - вот там-то нам и начали рассказывать про всякие интересности в физике и математике. а 10-11 классы мы были уже физматом, у нас была специальная классная, которая нас строила и кормила нас знаниями сбааальшущей такой столовой ложки.
рассказывала про фракталы, матрицы, теорию вероятности, сумму векторных пространств, гиперболоиды, интересные функции с красивыми графиками, неразрешённые математические загадки и т. д. например мы ещё в школе немного обсуждали транспортные задачи. на пальцах =)

[http://users.livejournal.com/_baum/]

это к математике отношения не имеет:)) независимо от присутствия чистякова, думаю, ничего не поменялось: аничков лицей в части математики создавался как место, где "учат науке", а не тренируют на решение олимпиадных задач. обучение науке заключалось в том, насколько я знаю, что ученики должны были выбрать руководителя и сделать некий проект (). не знаю, как там сейчас. в свое время этот подход ничего особенного на университетском уровне не дал, я как-то не видел большого отличия между выпускниками аничкова лицея и ведущих физ.-мат. школ

[kobak.livejournal.com]

Это, кстати, очень негативный момент -- про финишную прямую. Есть небольшая надежда, что ЕГЭ через пару лет несколько исправит положение. (При случае напишу постинг про егэ, это очень важная тема, по-моему.)

[kapahel.livejournal.com]

у меня сейчас такой проблем тоже стоит
думаю, уместно рассказать, например, про всяческие числа
кватрнионы-октавы-p-адические

для топологии надобно анализ иметь в руках

Re:

[(Anonymous)]

Исходя из заокеанского опыта скажу, что несмотря на наличия чего-то вроде ЕГЭ последний класс всё равно рассматривается большинством как нечто несерьёзное, лишь бы аттестат получить. Правда, тут за океаном, в универы принимают на полгода раньше, т.е. в марте, а документы следует подавать до января. Но, несмотря на эту, в принципе, существенную разницу, мне кажется, что на Руси народ будет игнорировать школу во второй половине 11-го класса, готовясь только к ЕГЭ.
Брат.

Re:

[kobak.livejournal.com]

То есть ты предлагаешь признать это прискорбное обстоятельство и не восставать против сути вещей?

Re:

[kobak.livejournal.com]

ну уж, всё хорошее - и только вам? нееет уж =)

не только нам, а везде, где есть бескорыстное желание и инициатива. вашей классной можно только аплодировать.

[kobak.livejournal.com]

очень интересно. а почему "тоже": Вы преподаете в школе математику, или что?

про кватернионы можно, да, под самый конец -- комплексные-то изучают, по-моему, в 3-ей четверти 11 класса. а про р-адические я сам ничего не знаю, мне даже стыдно все время от этого.

про топологию и анализ -- я поэтому и написал, что не уверен. вопрос в том, нельзя ли в топологии что-нибудь рассказывать на пальцах. может быть, можно немного поговорить о том, какие вообще существуют пр-ва, кроме R^3, хотя, возможно, это уже будет пустой загруз.

Re:

[kapahel.livejournal.com]

рассказывал детЯм в своей школе (про комплесные числа), никакой регулярности
хочу ещё этим заняться, более плотно, да и просили меня...
у меня школа со стандартной математикой-физикой, но есть несколько хороших семиклассников.
хочу их научить анализу-на-пальцах, чтобы они могли книжки читать по физике. Еще хорошо бы рассказать линейку (кванты и СТО), может быть векторный анализ (электродинамика). Алгебраические вещи простые, группы там...

касательно p-адических чисел, то есть такая теорема Островского: пополнение рациональных по норме приводил либо к вещественным, либо к каким-то p-адическим (этим они и интересны в нулевом приближении). Доказательство можно детЯм соощить вполне. Ещё их можно складывать и умножать в столбик.

есть хорошие книжечки (http://www.mccme.ru/free-books/) Верещагина-Шеня, то что в ниих написано — вполне в очерченной вами канве.

а я про алгоритмы итд ничего не знаю)

может быть про фундаментальные группы?

Re:

[kobak.livejournal.com]

нет, надо сразу разделить: возможные варианты факультатива (тут всё зависит от конкретной публики, её интересов и возможностей) и возможные варианты дополнительного урока (тут уже надо расчитывать на среднего слушателя -- "среднего" в рамках данной школы, разумеется). начала анализа изучают весьма основательно в 10-11 классах, так что рассказывать анализ-на-пальцах раньше имеет смысл только на факультативах для особо интересующихся. а меня сейчас заинтересовал вариант именно общего урока.

про р-адические числа прочитал сейчас статью в мат. энциклопедии. почти ничего не понял. :)

про простые алгебраические вещи рассказывать можно, но не уверен в целесообразности. ну рассказать, что такое группа, и какие-то простые утверждения доказать -- но это не сложится ни в какую картину, и будет непонятно, зачем все это. впрочем, возможно, я просто плохо сам знаю эти дела.

верещагина-шеня читал более или менее все три, да. для школы сложноваты, но основываться на них можно.

про фундаментальные группы -- это Вы смеетесь? когомологии еще предложите. (хотя в этой области я знаю только слова некоторые, не больше; все не соберусь второй том фоменко почитать целенаправленно.)

Re:

[kapahel.livejournal.com]

там есть специальные дети, которым преподают отдельно, но все равно мало.
некоторые — матшкольники потенциальные. Так что это факультатив по статусу…
Умение полином или синус проинтегрировать расширяет возможности по общей физике, да и мне будет легче.

я не знаю, насколько они полезны

никаких картин, по-моему и не может быть в этом возрасте 8)
но кто-то, может, заинтересуется.

когомологии — это третий том, по-моему
посоветую прекрасную книжечку (http://www.math.cornell.edu/~hatcher/#ATI) на эту тему.

а вы кстати, на какой кафедре

Re:

[kobak.livejournal.com]

на теории поля.
вернее, формально я вообще не на физфаке, собираюсь поступать туда в магистратуру летом.

за ссылку спасибо, оглавление выглядит заманчиво. лучше, чем фоменко? я вообще-то не люблю его, пытался по нему в дифф. формах разобраться, ничего не вышло в свое время.

Re:

[(Anonymous)]

Отнюдь! Всем желающим восстать предлагается встать и стройными рядами идти на мавзолей.
Вот если, скажем, гос экзамены будут не в девятом, а в одиннадцатом классе, тогда, наверно, народ будет учиться, проклиная всех в вся.
Брат.

Re:

[kapahel.livejournal.com]

мне нравится
Фоменко прекрасный, но он не есть учебник
там доказательства пропущены многие
если хотите (дело не срочное), я вам это на ту же болванку закатаю

Re:

[kobak.livejournal.com]

спасибо, но Фоменко у меня есть в djvu, конечно.

нет, ну вот у вас как с дифф. формами? хорошо? и по какой книге вы их осознали?

Re:

[kapahel.livejournal.com]

я имел в виду Хэтчера записать

формы люблю нежно (их тоже детям можно сообщить, кстати, алгебраические аспекты, по крайней мере), в принципе, про них можно прочесть в мильёне книг по анализу/геометрии. Навскидку 2 книжки: Спивак и Фландерс.
Хорошо написано у Арнольда в книжке про механику (но пожалуй, слишком лапидарно). Есть симпатичная методичка, которую один наш сотрудник написал. Ещё есть lecture notes С.М. Львовского (довольно абстрактные: используется теория расслоений).
Могу всё это тоже записать.

Могу ещё сообщить, что Фоменко очень полезен был (и есть), но начинать лучше с чего-то другого.