вопрос по линейной алгебре

[kobak]

Вопрос к друзьям-математикам. Пусть у нас есть вещественная симметричная положительно определенная билинейная форма S (т.е. попросту вещ. сим. пол. опр. матрица S; без ограничения общности можно считать, что диагональная с положительными значениями). Пусть есть такой базис V, состоящий из единичных, но не ортогональных, векторов (т.е. квадратная матрица V со всеми столбцами нормы 1), в котором S диагональна как билинейная форма, т.е. V^TSV — диагональная матрица. Верно ли, что trace(V^TSV) ≤ trace(S)? Как это доказать?

Предполагаю, что это должно быть либо очевидно (с правильной точки зрения), либо сразу следовать из какого-то стандартного результата, но я осел и никак не могу разобраться. Как говорит мой двухлетний сын — хилфэ! (Недавно, впрочем, начал говорить: «Папа, помогите!»)

Comments

[rus4.livejournal.com]

ответил на стэкэксчейндж (вопросы такого уровня лучше задавать на матоферфлоу, конечно), немного упростил окончание доказательства

[kobak.livejournal.com]

Ага, так стало еще понятнее; спасибо! Я позволил себе исправить несколько теховских опечаток в Вашем ответе там. Про mathoverflow буду иметь в виду. Меня отпугнули грозные предупреждения про "research-level mathematics"; но я уже полистал вопросы и вижу, что там не только про схемы и стеки, попадается и обычная линейная алгебра.