вопрос по линейной алгебре

[kobak]

Вопрос к друзьям-математикам. Пусть у нас есть вещественная симметричная положительно определенная билинейная форма S (т.е. попросту вещ. сим. пол. опр. матрица S; без ограничения общности можно считать, что диагональная с положительными значениями). Пусть есть такой базис V, состоящий из единичных, но не ортогональных, векторов (т.е. квадратная матрица V со всеми столбцами нормы 1), в котором S диагональна как билинейная форма, т.е. V^TSV — диагональная матрица. Верно ли, что trace(V^TSV) ≤ trace(S)? Как это доказать?

Предполагаю, что это должно быть либо очевидно (с правильной точки зрения), либо сразу следовать из какого-то стандартного результата, но я осел и никак не могу разобраться. Как говорит мой двухлетний сын — хилфэ! (Недавно, впрочем, начал говорить: «Папа, помогите!»)

Comments

[rus4.livejournal.com]

Верно, да. Через |f| обозначим норму вектора f.

Лемма 1. Пусть A --- симметричный положительный оператор, f - ненулевой вектор. Тогда (Af,f)*(A^{-1} f,f)\geq (f,f)^2.

Доказательство. Пусть A=B^2, где B тоже положителен, тогда надо доказать |Bf|*|B^{-1} f|\geq |f|^2, но по неравенству Коши-Буняковского |Bf|*|B^{-1} f| \geq(Bf, B^{-1} f)= (f,f), что и требовалось.

Лемма 2. Если у некоторой положительной симметричной матрицы на диагонали стоят единицы, то у обратной матрицы все диагональные элементы хотя бы 1.

Доказательство. Следует из леммы 1, примененной к базисным векторам.

Теперь пусть V^TSV=diag (c_1,...c_n). Тогда (SVe_i,Ve_j)= c_i delta(i,j), то есть Sf_i=c_i g_i, где f_i=Ve_i, g_i --- биортогональная система к (f_i). Обозначим g_i=\sum W_{ik} f_k, тогда умножая на f_j получаем, что матрицы W и F обратны, где F_{i,j}=(f_i,f_j) - матрица Грама для векторов единичных f_i. Применяя к матрице F лемму 2 получаем, что все диагональные элементы матрицы W хотя бы 1. Считая след матрицы S в базисе (f_i) получаем, что он равен \sum c_i W_{i,i}, что стало быть не меньше, чем \sum c_i=trace( V^TSV).

[kobak.livejournal.com]

Федя, спасибо огромное! Сижу разбираюсь с доказательством; вроде бы все понятно вплоть до последнего предложения, но вот его пока не понимаю: а почему след матрицы S в базисе (f_i) равен \sum c_i W_{i,i} ?

[rus4.livejournal.com]

ну потому что след это сумма диагональных элементов, то есть сумма(по i) коэффициентов при f_i в разложении Sf_i по базису (f_1,...,f_n)

[kobak.livejournal.com]

Действительно! Класс, спасибо. Локально теперь все понятно, глобально -- еще надо поразмыслить.

Я несколько дней назад задал этот вопрос на math.SE (http://math.stackexchange.com/questions/876801), впервые там зарегистрировавшись. Мне ничего путного не ответили. Вы, вроде бы, активно участвуете на mathoverflow; исходно я не решился туда писать, т.к. решил, что мой вопрос слишком элементарный (впрочем, я не очень понимаю, где проходит граница элементарности для mathoverflow). Как быть: мне самому ответить на свой вопрос на math.SE, сославшись на Вас? м.б., Вы захотите прямо там написать ответ? или же стоит попытаться перевести вопрос на mathoverflow (хоть и не знаю как), чтобы Вы на него ответили там?

[rus4.livejournal.com]

ответил на стэкэксчейндж (вопросы такого уровня лучше задавать на матоферфлоу, конечно), немного упростил окончание доказательства

[kobak.livejournal.com]

Ага, так стало еще понятнее; спасибо! Я позволил себе исправить несколько теховских опечаток в Вашем ответе там. Про mathoverflow буду иметь в виду. Меня отпугнули грозные предупреждения про "research-level mathematics"; но я уже полистал вопросы и вижу, что там не только про схемы и стеки, попадается и обычная линейная алгебра.