вопрос по линейной алгебре

[kobak]

Вопрос к друзьям-математикам. Пусть у нас есть вещественная симметричная положительно определенная билинейная форма S (т.е. попросту вещ. сим. пол. опр. матрица S; без ограничения общности можно считать, что диагональная с положительными значениями). Пусть есть такой базис V, состоящий из единичных, но не ортогональных, векторов (т.е. квадратная матрица V со всеми столбцами нормы 1), в котором S диагональна как билинейная форма, т.е. V^TSV — диагональная матрица. Верно ли, что trace(V^TSV) ≤ trace(S)? Как это доказать?

Предполагаю, что это должно быть либо очевидно (с правильной точки зрения), либо сразу следовать из какого-то стандартного результата, но я осел и никак не могу разобраться. Как говорит мой двухлетний сын — хилфэ! (Недавно, впрочем, начал говорить: «Папа, помогите!»)

Comments

[kobak.livejournal.com]

Федя, спасибо огромное! Сижу разбираюсь с доказательством; вроде бы все понятно вплоть до последнего предложения, но вот его пока не понимаю: а почему след матрицы S в базисе (f_i) равен \sum c_i W_{i,i} ?

[rus4.livejournal.com]

ну потому что след это сумма диагональных элементов, то есть сумма(по i) коэффициентов при f_i в разложении Sf_i по базису (f_1,...,f_n)

[kobak.livejournal.com]

Действительно! Класс, спасибо. Локально теперь все понятно, глобально -- еще надо поразмыслить.

Я несколько дней назад задал этот вопрос на math.SE (http://math.stackexchange.com/questions/876801), впервые там зарегистрировавшись. Мне ничего путного не ответили. Вы, вроде бы, активно участвуете на mathoverflow; исходно я не решился туда писать, т.к. решил, что мой вопрос слишком элементарный (впрочем, я не очень понимаю, где проходит граница элементарности для mathoverflow). Как быть: мне самому ответить на свой вопрос на math.SE, сославшись на Вас? м.б., Вы захотите прямо там написать ответ? или же стоит попытаться перевести вопрос на mathoverflow (хоть и не знаю как), чтобы Вы на него ответили там?

[rus4.livejournal.com]

ответил на стэкэксчейндж (вопросы такого уровня лучше задавать на матоферфлоу, конечно), немного упростил окончание доказательства

[kobak.livejournal.com]

Ага, так стало еще понятнее; спасибо! Я позволил себе исправить несколько теховских опечаток в Вашем ответе там. Про mathoverflow буду иметь в виду. Меня отпугнули грозные предупреждения про "research-level mathematics"; но я уже полистал вопросы и вижу, что там не только про схемы и стеки, попадается и обычная линейная алгебра.